Николай

                Ильченко

 

 

                            

               Король

             Магических

             Кладок

             и

             Квадратов

 

 

B

первые Георгий Александров заявил о себе во время защиты диссертации в 1982 году. Происходило это в здании Ленинградского Политехнического института. Я сидел во втором ряду длинного зала и мне хорошо были видны великолепно подготовленные плакаты. Самым интересным моментом доклада оказался раздел, посвященный формированию магических кладок. Профессора и доктора наук, многое повидавшие на своем веку, были крайне удивлены тому факту, что из двух типов блоков-параллелепипедов (равновеликих по объему), можно возвести правильную кладку. При этом соблюдены  жесткие конструктивные требования, характерные для сооружений, подверженных воздействию морских волн. Вот часть выступления диссертанта по этому вопросу:

 

«Элементарная алгебра, и даже арифметика, способны не только быть инструментом при вычислениях вспомогательных характеристик, но и напрямую выдавать готовый инженерный проект.

 

    Возьмём любые три попарно простых числа, например, 3, 4, 7. Из них выберем крайние и создадим прямоугольник  3 * 7 . Если взять семь таких прямоугольников, то можно скомпоновать большой прямоугольник размером 7*21 , как показано в верхней части рисунка 1. Это будет первым курсом кладки. Для наглядности построения делаем на клетчатом фоне.

 

 

Рис. 1  Два курса кладки

 

     Второй курс кладки создадим из двух рядов. Первый ряд выложим из тех же прямоугольников  3*7, но повернутых на 90 градусов и в количестве трех штук. Второй ряд компонуем из четырех прямоугольников 4*5,25  (см. нижнюю часть рис. 1).  Размеры курсов в обоих случаях одинаковы. Более того, при наложении кладок друг на друга, нигде не совпадут швы между отдельными элементами. Если под прямоугольниками понимать блоки-параллелепипеды, то нам удастся создать сооружение типа опоры или фундамента. Что тут замечательно? Оказывается, площади всех прямоугольников одинаковы. В самом деле, 3*7 =4*5,25 =21 . Физически же это означает, что все блоки в кладке будут одинакового веса. Если, конечно, высота блоков принимается постоянной.

 

    Во всем сказанном есть один недостаток – один из габаритов не является целым числом. Чтобы этого избежать, достаточно все размеры, присутствующие на рис. 1, умножить на 4. Если же совместить два курса один над другим (см. рис. 2), то образуется структура, которую автор предлагает называть магической кладкой. 

 

 

 

 

Рис. 2   Магическая кладка

 

    Под «магичностью» понимается именно равенство площадей всех входящих в нее элементов. Последние всегда только двух видов.

 

    Магическую кладку легко алгоритмизировать в виде формулы кладки, похожей на уравнение химической реакции. В нашем случае она выглядит так:

 

28(12)7 = 12(28)3 + 16(21)4

 

    Левая часть равенства описывает нижний курс кладки. Число 28 перед скобкой – это ширина ряда. В скобках дается второй габарит прямоугольника -  число 12 . Индекс 7 указывает на количество таких прямоугольников в ряду.

 

    Правая часть уравнения – вышележащий курс. Два слагаемых - это два ряда. Сначала устанавливается ряд шириной 12, состоящий из трех прямоугольников длиной 28 каждый. К нему примыкает ряд шириной 16, состоящий из четырех прямоугольников длиной 21 каждый.

 

    Благодаря четкости и компактности формулы кладки, имеется возможность производить построения структур с помощью компьютера.

 

    Мы рассмотрели случай, когда в магической кладке применяются не более двух рядов в курсе. Есть примеры и более широких кладок. Построим структуру, в каждом курсе которой имеются по три ряда.  Так, при выборе попарно простых чисел: 3, 4, 5, - можно получить кладку, изображенную на рис. 3:

 

 

Рис. 3  Трехрядная кладка

 

    Ширина структуры 12, её длина 15. Здесь также 5*3=4*3,75. Избавимся от дробного габарита   3,75  путем умножения всех чисел на четыре. Окончательная компоновка показана на рис. 4:

 

 

Рис. 4.   Целочисленное представление

 

            Формула этой магической кладки будет такой:

 

20(12)5 + 12(20)3 + 16(15)4 =12 + 16 + 20

 

    Заметим, что в правой части уравнения для краткости пишутся только ширины рядов.

 

    Подобных компоновок можно найти бесконечное количество, но лишь десятки из них приемлемы для создания реальных сооружений. Таких как  опоры мостов, колонны, постаменты, волнорезы  и т.д.»

 

 Открытые Александровым 44 магические кладки являются подлинным шедевром как математики, так и строительных конструкций. Приведу их полный перечень:

 

20(36)5 + 16(45)4 = 36(20)9                            

20(45)4 + 25(36)5 = 45(20)9                             

12(28)3 + 16(21)4 = 28(12)7                                     

 6(15)2 +  9(10)3 = 15( 6 )5                              

15(40)3 + 25(24)5 = 40(15)8                             

 2(6)1  +  4 ( 3)2   =  6( 2 )3                                             

35(45)7 + 25(63)5 + 35  = 25 + 45(35)9 + 25   

12(15)4 +  9(20)3 + 12  =  9 + 15(12)5 + 9     

40(45)8 + 25(72)5 + 45(40)9 = 45 + 40 + 25    

30(35)6 + 25(42)5 + 30 = 25 + 35(30)7 + 25    

35(45)7 + 25(63)5 + 45(35)9 = 45 + 35 + 25    

35(40)7 + 25(56)5 + 40(35)8 = 40 + 35 + 25    

12(15)4 +   9(20)3 + 15(12)5 = 15 + 12 + 9      

20(28)5 + 16(35)4 + 28(20)7 = 28 + 20 + 16    

56(63)8 + 49(72)7 + 56 = 49 + 63(56)9 + 49    

30(35)6 + 25(42)5 + 35(30)7 = 35 + 30 + 25    

56(63)8 + 49(72)7 + 63(56)9 = 63 + 56 + 49    

35(63)5 + 63(35)9 + 35 = 49(45)7 + 35 + 49    

15(35)3 + 35(15)7 + 15 = 25(21)5 + 15 + 25  

12(20)3 + 20(12)5 + 12 = 16(15)4 + 12 + 16    

30(42)5 + 42(30)7 + 30 = 36(35)6 + 30 + 36    

56(72)7 + 72(56)9 + 56 = 64(63)8 + 56 + 64    

56(72)7 + 64(63)8 + 72(56)9 = 72 + 56 + 64    

20(35)4 + 25(28)5 + 35(20)7 = 35 + 20 + 25    

30(42)5 + 36(35)6 + 42(30)7 = 42 + 30 + 36    

63(72)7 + 81(56)9 + 63 = 72(63)8 + 63 + 72    

12(20)3 + 16(15)4 + 20(12)5 = 20 + 12 + 16    

35(42)5 + 49(30)7 + 35 = 42(35)6 + 35 + 42    

35(63)5 + 49(45)7 + 63(35)9 = 63 + 35 + 49    

35(56)5 + 49(40)7 + 56(35)8 = 56 + 35 + 49    

15(20)3 + 25(12)5 + 15 = 20(15)4 + 15 + 20    

63(72)7 + 72(63)8 + 81(56)9 = 81 + 63 + 72       

45(63)5 + 81(35)9 + 45 = 63(45)7 + 45 + 63    

15(35)3 + 25(21)5  +35(15)7 = 35 + 15 + 25    

40(72)5 + 64(45)8 + 72(40)9 = 72 + 40 + 64    

35(42)5 + 42(35)6 + 49(30)7 = 49 + 35 + 42    

28(63)4 + 49(36)7 + 63(28)9 = 63 + 28 + 49    

40(56)5 + 56(40)7 + 64(35)8 = 64 + 40 + 56    

15(20)3 + 20(15)4 + 25(12)5 = 25 + 15 + 20    

45(72)5 + 72(45)8 + 81(40)9 = 81 + 45 + 72    

45(63)5 + 63(45)7 + 81(35)9 = 81 + 45 + 63    

28(35)4 + 35(28)5 + 49(20)7 = 49 + 28 + 35    

21(56)3 + 49(24)7 + 56(21)8 = 56 + 21 + 49    

36(63)4 + 63(36)7 + 81(28)9 = 81 + 36 + 63    

 

Все структуры простых и магических кладок (их свыше 900), а также программу поиска рациональных компоновок по заданным техническим условиям, можно найти в:  http://renuar911.narod.ru/Kladka.mht

 

E

ще со школьной скамьи Георгий Александров увлекся магическими квадратами, то есть матрицами n x n, заполненными целыми числами таким образом, что в каждом столбце, в каждой строке и в каждой главной диагонали сумма чисел равнялась 0,5n(n2+1). В дальнейшем он разработал несколько общих методов построения как просто магических квадратов, так и идеальных магических квадратов. У последних магическая сумма наблюдается, помимо прочего, и по всем ломаным диагоналям. Плюс к этому во всех парах центрально симметричных ячеек сумма чисел равна n2+1.

Приведу выдержки из его статей, подтверждающие мои слова.

 

”Находить новые магические квадраты (или МК)  – это истинное наслаждение для любителя головоломок. Еще интересней выявлять простые методы составления волшебных матриц. Но самое прекрасное – обнаружить  элементарный единый подход к созданию абсолютно всех магических квадратов.

Кажется, мне это удалось путем использования латинских квадратов. Универсальный способ построения МК можно условно назвать “методом цифровых волн”. Рассмотрим его применительно к трем группам магических квадратов:

- нечетного порядка ;

- порядка двойной четности ;

- порядка одинарной четности.

 

1.  Магические квадраты порядка n=2k+1

 

Латинский квадрат можно построить по следующему принципу. Пусть “цифровой ветер“ дует в направлении желтой стрелки, то есть справа налево и вниз (это направление совпадает с главной диагональю квадрата). Тогда будет образовываться линейный фронт цифровой волны, причем единичная волна находится на пересечении со средней ячейкой самой верхней строки матрицы (желтый ряд на Рис. 5):

 

 

Рис. 5. Одиночная цифровая волна

 

    Вот и вся подготовительная работа.

Пусть числа в ячейках  данной матрицы – это Z(i,j), а   Zmax – наибольшее число в поле латинского квадрата. Тогда магический квадрат M(i,j)  строится согласно правилу:

 

M(i,j)=Zmax[Z(i,j)–1]+Z(i,n+1-j)

 

Допустим, начало координат находится в левом верхнем углу. Параметр i – номер строки , j – номер столбца. В нашем примере  Zmax =9. При  i=2 и  j=3  Z(2,3)=4; Z(2,9+1-3)=Z(2,7)=9. Следовательно, M(2,3)=9(4–1)+9=36. Вычислив таким образом все M(i,j), получим решение (Рис. 6):

 

 

Рис. 6. Магический квадрат 9 х 9

 

    В данном решении имеет место компактное ядро нечетных чисел (цветная область)

 

2.              Магические квадраты порядка n=4k

 

Для построения латинского квадрата потребуется уже два горизонтальных цифровых ветра: один “дует” слева направо (для желтой области ячеек), другой – справа налево (для белых ячеек). На Рис. 7 показан принцип образования цифровых волн:

 

Рис. 7. Система двух цифровых волн

 

Пусть числа в ячейках  латинского квадрата  – это  Z(i,j), а Zmax – наибольшее. Тогда магический квадрат M(i,j)  строится согласно правилу:

 

M(i,j)=Zmax[Z(i,j)–1]+Z(j,i)

 

Допустим, начало координат находится в левом верхнем углу. Параметр i – номер строки , j – номер столбца. В нашем примере  Zmax =12. При  i=2 и j=3   Z(2,3)=3 ; Z(3,2)=2. Следовательно,  M(2,3) = 12(3–1)+2=26. Вычислив таким образом все  M(i,j), получим решение (Рис. 8):

 

 

 

Рис. 8. Магический квадрат 12 х 12

 

    Нечетные числа расположены симметрично относительно средней вертикали.

 

3.  Магические квадраты порядка n=4k+2

 

     Теперь рассмотрим матрицы 6х6, 10х10, 14х14  и так далее. Каждый, кто составлял магические квадраты данного вида, непременно сталкивался с более значительными трудностями, нежели при построении МК нечетного порядка или порядка двойной четности. Тем не менее, мне удалось разработать общий и достаточно простой способ компоновки этой группы строптивых головоломок. Он базируется на методе обратимых квадратов, но доведен до зеркального блеска простоты. Рассмотрим конкретный пример. Пусть n=4k+2=14. Отсюда  k=3 . На Рис. 9 показан принцип создания обобщенного латинского квадрата:

 

 

Рис. 9. Построение обобщенного латинского квадрата 14 х 14

 

    Числа здесь идут двумя регулярными фронтами с обеих сторон. Вся хитрость заключается в построении желтой области, параметры которой четко привязаны к величине  k>0. Получаем сразу обобщенный латинский квадрат (или ОЛК).

Теперь уже можно приступать к созданию магического квадрата.

Пусть числа в ячейках  ОЛК – это  Z(i,j), а  Zmax – наибольшее число в поле латинского квадрата. Тогда магический квадрат M(i,j)  строится согласно правилу:

 

M(i,j)=Zmax[Z(i,j)–1]+Z(j,i)

 

Допустим, начало координат находится в левом верхнем углу. Параметр i – номер строки , j – номер столбца. В нашем примере  Zmax =14. При  i=2 и  j=3  Z(2,3)=12; Z(3,2)=2. Следовательно,  M(2,3)=14(12–1)+2=156.  Вычислив таким образом все  M(i,j), получим решение (Рис. 10):

 

 

 

Рис. 10.  Магический квадрат 14 х 14

 

 

      В этом примере выделены все нечетные числа. Рисунок получился чуть-чуть негармоничным. Отсутствие полной симметрии подтверждает тезис о сложности рассматриваемой группы магических квадратов”.

 

Методы построения идеальных квадратов рассмотрены в его статьях http://renuar911.narod.ru/ideal_sov.html и http://renuar911.narod.ru/IDEAL_MSa.mht . Для самой “капризной” группы n=4k+2 ему удалось по единой методике компоновать нетрадиционные магические квадраты, являющиеся не только  идеальными, но и совершенными. Последовательности целых чисел, при помощи которых удалось добиться столь блестящих результатов, по праву носят название цепей Александрова

        

         Характерной особенностью творчества Георгия Александрова является красота и изящество составления им алгоритмов поиска сложных многоэлементных структур. Будь то физически реальные блоки или абстрактные числа в матрицах.